提高小学教育专业初等数论教学的思想性与趣味性

         段勇花（西安文理学院信息工程学院  陕西西安  710065）

摘 要：初等数论以整除和同余理论为基础，主要研究整数的性质和不定方程，是一门十分重要的数学基础课程。其中的一些知识在小学数学教学中有着广泛的应用。本文谈到了我结合实际教学内容和课程结构注重从思想性和趣味性促进教学的做法。

关键词：小学教育；初等数论；课堂教学；思想性；趣味性

初等数论以整除和同余理论为基础主要研究整数的性质和不定方程，是一门十分重要的数学基础课程。其中的一些知识在小学数学教学中有着广泛的应用，例如整除、奇数与偶数、素数与合数、检查因数的方法等。作为未来的小学教师，一方面通过这些内容可以加深对数的性质的了解；另一方面可以培养他们的数学思维；第三，可以使学生具有更高的理论水平和更高的视野，因此学习好初等数论是非常有价值的。

初等数论的内容严谨简洁 ,其数学思想方法又隐含在数学知识和问题解决的过程中。加上目前大学中的初等数论课程教学内容比较陈旧, 教学方法也比较单一 ,这对于提高其教学质量十分不利,看似简单，教学的效果并不尽如人意。目前的教学现状对我们培养具有灵活思维能力、具有创造力的适应《小学数学新课程标准》要求的未来小学数学教师没有益处。

我结合实际教学内容和课程结构注重从思想性和趣味性提高学生学习的兴趣进而促进教学。

一、初等数论教学要注重思想性

所谓教学的思想性是指要端正学生的学习态度；明确学习目的；培养学生的爱国主义精神和辩证唯物主义的观点；根据循序渐进的教学原则，启发学生认真进行课程的学习。

1.端正学生的学习态度,明确学习的目的

刚开学我会介绍初等数论的主要内容，学习的方法。分析其内容在小学数学教学中的应用，让学生体会学习该课程是很有意义的。告诉学生正确理解初等数论中的基本概念是掌握数论基础知识的前提；准确记忆定理、公式、掌握数论中常用的数学方法，是学好初等数论的关键。在教学中期学生往往会有些懈怠，不能及时完成作业或抄作业。我用华罗庚教授在《 数论基础》序言中讲的“ 如果读这本书而不看不做书后的问题 , 就好像入宝山而空返 ,把这书的最重要部分忽略了！”来启发学生要自己动脑多做题。在学习方法上予以指导。

每讲到同余方程，因为求解的过程有些复杂，方法也较多。学生会产生畏难情绪。此时可以告诉他们，许多熟悉的数学家的经历也都充满荆棘坎坷的，他们所面对的困难根本不算什么。少年时代的华罗庚家境贫寒，疾病缠身。18岁那年，华罗庚初中时代的王老师从外国学成归来，出任金坛中学校长。经他介绍，华罗庚到金坛中学做了个勤杂工。但是天有不测风雨。华罗庚被一场伤寒病拖垮，医生作出“无法医救”的诊断。但是幸运的是，死神终究没有把他拽走，他落下了终身残疾。华罗庚一瘸一跛地又去上工了，在休息之余仍然沉浸在数学王国的遨游中，把疼痛抛到九霄云外去了。对华罗庚来说，枯燥无味的阿拉伯数字就象一组奇妙无比的音符，草稿纸的运算符号好比音乐演奏一样，给他带来了无穷的乐趣。他坚信，只要顽强地坚持下去，自学也能摘取数学王冠。由于他信心百倍地不懈努力，终于有一天，他的一篇数学论文发表了。机遇垂青这位下苦工夫的热心人。清华大学的数学教授熊庆来得知华罗庚的研究成果和不幸遭遇后，邀请华罗庚到清华大学工作，这就是为他成为数学家提供了广阔舞台。这就是至今成为人们美谈的熊庆来睿智识英才的故事。 

启发学生只要坚持什么困难都能跨过去。进而端正学生的学习态度,明确学习的目的。

2.初等数论教学中还可以培养学生的爱国主义精神

如《孙子算经》里的“物不知其数”的问题就是解同余方程组 ：

其解题方法还编成一首“孙子歌”:三人同行七十稀 , 五树梅花廿一枝。七子团圆整半月 , 除百零五便得知。

这就是世界上颇负盛名的中国剩余定法。真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的，是南宋数学家秦九韶 ( 约公元1202 － 1261) 。秦九韶《数书九章》卷一“大衍总数术”明确地、系统地叙述了一次同余式方程组的一般解法，提出了乘率、定数、衍母、衍数等一系列数学概念，并详细叙述了他的方法。在19世纪中期受到了西方数学界的关注。1852年，英国传教士伟烈亚力向欧洲介绍了“孙子算经”的“物不知数”题和秦九韶的“大衍求一术”.1876年，德国人马蒂生指出，中国古时的这一解法与西方19世纪高斯《算术研究》中关于一次同余式组的解法完全一致。自此，中国古代数学的这一创造成就逐渐受到世界学者的瞩目，且在西方数学史著作中把关于一次同余组求解的剩余定理常常被称为“中国剩余定理”。

再例如讲商高不定方程时，可以这样介绍：公元前1100多年，我国古代数学家商高提出了“勾广三，股修四，径隅五”的著名论断，并载于《周髀算经》这实际上给出了不定方程的一组正整数解。因此我们把这个方程叫商高不定方程。在公元500年，古希腊数学家毕达哥拉斯也得到了结论，所以在欧洲人们也称为毕达哥拉斯方程。

这些历史背景知识也应当被学生所知晓，有助于增强学生的民族自豪感和爱国主义精神。

3.循序渐进启发学生

循序渐进是指教学要按照学科的逻辑系统和学生认识发展的顺序进行使学生系统地掌握基础知识、基本技能形成严密的逻辑思维能力。循序渐进的原则是由科学知识本身的系统性和严密性决定的。教学内容只有通过一定的教学组织形式和活动方式并落实在特定的时空中才能产生其教育作用。因此要加强课堂活动的时间设计和管理做到适时而教。例如在讲不定方程时可以先让学生解决“倒油问题”：两个人合买了10斤油，装在一个大油葫芦里，他们要把油平均分成两份，但没有称，也没有合适的量具，只有一个刚好可盛7斤油的油葫芦和一个刚好可盛3斤油的油葫芦。两个人倒来倒去，却怎么也分不均。你能帮他们想出分油的办法吗？

学生思考，讨论片刻后有人给出了答案：

先把7斤的葫芦倒满； 

把7斤的葫芦倒满3斤的，3斤的再全倒入10斤的两次， 7斤内剩1斤；

把7斤内剩下的1斤倒入3斤，把7斤的葫芦倒满；

最后把7斤的葫芦倒满3斤的（3斤的葫芦本来就有1斤），5斤的油就有了,在7斤的桶里。剩下的都倒进10斤的桶里，也是5斤。

老师指出：总共往7斤葫芦内倒满了2次油，往3斤内倒满了3次油。此时可以继续提问，如果要把10斤分成1斤和9斤行不行呢，这时学生很容易就能解答并指出往7斤葫芦内倒满1次，在把7斤分两次倒入3斤的就能分出1斤。

再引入这就是一个不定方程的问题：设往7斤内倒慢的次数为,3斤内为,可列方程和观察出满足方程的刚好是倒满的次数。在进行不定方程知识的讲解就容易多了。并且再讲了解的判定之后，问大家是不是可以把10斤油分成2,8或4,6,。学生根据3与7是互质的判定都可以分。

循序渐进不仅要注意教学环节之间的衔接，无论是教师的课堂教学还是学生的作业练习都要循序渐进地进行。

二、初等数论教学要加强趣味性

1.用故事增加趣味性

例如讲授不定方程，不妨先介绍一下丢番图。丢番图是古希腊的大数学家，他对数论的贡献极大，所以数论中有两个分支用了他的名字: 丢番图方程与丢番图逼近。据说有人给他立了一块墓碑，碑文是一道有名的数学题，大意如下: 这里埋葬着丢番图，他生命的六分之一是欢乐的童年，再度过十二分之一，他长出了胡须，又度过了七分之一，他结了婚。五年后，他生了儿子，可惜儿子的寿命只有父亲的一半，在儿子死后四年，丢番图也结束了人生的旅程，问丢番图的一生究竟有多长? 通过这个有趣的小故事，可以大大地调动学生学习不定方程的积极性。

初等数论中的许多概念、定理是以一些重要的数学家的名字命名的，如费马数、梅森素数、欧拉函数、高斯函数等等。向学生介绍数学家的生平和业绩及有趣的故事不仅能提高课堂的趣味性，还可以在有限的时间里完成教学任务并向学生传递数学思想。

2.用问题增加趣味性

例如剪纸问题与辗转相除法：取一个长为 33，宽为 18 的长方形的纸片，要求：从这个长方形的纸片剪裁下尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片再裁下尽可能大的正方形，如此重复下去，最后可以得到有限个正方形。在这个游戏中，最后得到 7 个正方形，面积最小的正方形的边长为 3。在剪的过程中让学生发现几个等式33= 1×18+15、18=1×15+3、15= 5×3+0。而 33 和 18 的最大公约数也是 3，并且正方形的个数刚好是几个商的和。这样的结果是巧合，还是有某种联系呢？我们如何证明这个猜想呢？

学生们通过类似的剪纸问题，发现长方形的长和宽的最大公因数都等于面积最小的正方形的边长，这是为什么？学生不得不去思考其中的原因。问题就这样激活学生的经验和情感。

通过教师的引导发现结论：被除数与除数的最大公因数与除数和余数的最大公因数相等，即当时最后证明。学生就能很好的理解了为什么辗转相除法可以求两个数的最大公因数，进而再讲求几个数的最大公因数时的辗转相减法，有利于学生对知识的理解接受。

3.改变作业形式，让小论文代替单纯的解题

长此以往我们的数学作业是一道又一道的计算、求解问题。学生难免厌倦，偶尔写一写小论文可能会增加兴趣。而初等数论课程有很多可写的题材，在写作的过程中学生可以做系统的总结，查阅资料的过程中，能开阔视野。美国的数学教育特别重视“数学写作”这种探究形式。“数学写作”不是对数学知识与解题过程进行简单的书面表达, 它具有明显的反思特征。学生进行数学写作的过程, 也是对数学知识进行整理和再认识的过程。为了让学生感受中国古代数学的伟大成就，我让学生写了一篇“大衍求一术”的论文，其中洋溢出了学生对古人智慧的崇拜。在我布置的“关于同余方程的求解”中有些同学查到了四种解法。在“数的进位制”题目中同学们写了很多关于其他进制数的应用。在“循环小数”论文中学生把判断分数是何种小数的方法总结得很到位，说这可以作为以后教学的依据。

总之，思想性与趣味性在教学中牢牢抓住了学生，为创造有效的课堂教学过程和环境奠定了基础。重要的是，可以使学生养成主动思考的习惯和形成主动学习的意识。学生才能真正掌握初等数论所蕴涵的思想方法。

参考文献：

[1]谢红梅.《初等数论》课程渗透数学文化教学研究与实验[J].兵团教育学报，2013，（1）

[2]刘颖.结合小学数学教学新课改浅谈初等数论教学改革[J].继续教育研究，2009（2）

[3]吉智深.例谈如何在初等数论教学中开展探究性学习[J].2011.（12）

[4]杨文金.初等数论教学的科学性、趣味性、思想性与艺术性[J].2006.（8）

[5]王进明.初等数论[M].人民教育出版社.2015

作者简介：

段勇花(1979--)，陕西西安人，西安文理学院信息工程学院讲师，主要讲授高等数学、初等数论。

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