杨伍梅（益阳职业技术学院基础课部  湖南益阳  413049）
摘 要：线性方程组的求解是大学数学中一个非常基础也很重要的问题，它的求解方法多种多样，在具体问题中如何选择合适的方法正确求解尤其重要。本文对常用的几种方法进行分析探究，分析出每种方法的优越性与局限性，以便学生正确选择。
关键词：线性方程组；克莱姆法则；高斯消元法；Matlab；逆矩阵
线性方程组的求解是线性代数这门课程中的一个很重要的基础部分，它的求解方法多种多样，主要有克莱姆法则、逆矩阵法、高斯消元法、Matlab仿真法等[1]。下面分别介绍每一种方法的使用条件、解题方法、优越性及局限性，以便具体求解过程中选择合适的方法。
设由m个n元线性方程构成的n元线性方程组为
                            （1）
一、用克莱姆（Gramer）法则求解线性方程组
1.使用条件
要求线性方程组中未知量的个数等于方程的个数，且系数行列式的值不等于零[2]。
2.克莱姆法则
当线性方程组(1）满足上述条件时，则可写出线性方程组的系数行列式为：
     （D≠0）

那么该方程组有且只有唯一解： [3]
其中
       
3.实例求解
用克莱姆法则求解方程组   
解：因为系数行列式，
且，
   ，，
             ，   
                    
即               。
4.优越性与局限性
用克莱姆法则求解线性方程组时必须满足方程组的未知量的个数等于方程的个数，且系数行列式的值不等于零两个条件，对于二元与三元线性方程组的求解用这种方法比较方便，但对于三元及三元以上的线性方程组的求解时，由于每次需计算n+1个行列式，计算量较大，因此用这种方法求解不太适应。
二、用逆矩阵求解线性方程组
1.使用条件
与克莱姆法则的条件相同，即要求线性方程组中未知量的个数等于方程的个数，且系数行列式不等于零。
2.思路分析
对于线性方程组(Ⅰ），如果记
   ,,
则利用矩阵的乘法，该方程式组可写成矩阵形式.当时,可逆.用左乘的两边，得 为线性方程组（1）的解[4]。
3.实例求解
求解线性方程组                     （2）
解：很显然线性方程组（2）满足利用逆矩阵求解线性方程组的两个条件，可将线性方程组（2）改写成矩阵形式：，利用逆矩阵求解线性方程组得其解为
=,即 
4.优越性与局限性
此种方法在思路上比较简单，但牵涉到逆矩阵的求解与矩阵乘法两种非常基础而又比较复杂的运算[5],比较容易出错，往往容易出现一步错而导致步步错，最终无法正确求解。但如果系数矩阵为正交矩阵时其逆矩阵就是其转置（）[6]，所以用这种方法求解时比较容易。
三、用高斯（Gauss）消元法求解线性方程组
1.使用条件
所有的线性方程组都适应，无特殊要求。
对于线性方程组(Ⅰ），如果记
   ,,
由它的系数矩阵与常数矩阵一起构成的矩阵称为线性方程组(Ⅰ）的增广矩阵。记作:

可对原方程组的增广矩阵施行行初等变换，再写出同解线方性方程组，就可以求出原方程组的解[7]。
3.实例分析
用高斯消元法解线性方程组              （3）
解:对增广矩阵施行初等行变换
.
故得原方程组的解为
 
4.优越性与局限性
利用高斯消元法解线性方程组适应范围广泛且计算较简便，但对于未知量较多或系数较复杂时往往计算量较大，很难直接计算出结果。
四、用MATLAB软件求解线性方程组
由上面的分析可知，利用克莱姆法则、逆矩阵法与高斯消元法求解线性方程组都只能求解未知量较少的简单问题，当遇到未知量较多的复杂问题时，这三种方法都比较难计算，而且容易出错。随着计算机功能的日益强大，对于复杂问题可采用Matlab进行求解，对于线性方程组的求解只需在命令窗口中输入系数矩阵a和常数项所对应的矩阵b,输入指令a\b就可得结果[8]。
实例分析： 求解线性方程组     

解:在Matlab命令窗中输入:
         a=[0.4096  0.1234  0.3678  0.2943
0.22460.3872  0.4015  0.1129
0.36450.1920  0.3781  0.0643
0.17840.4002  0.2786  0.3927];
                    b=[0.4043  0.1550  0.4240  -0.2557;
x=a\b
x=-0.1819  -1.6630  2.2172  -0.4467
利用Matlab求解线性方程组这种方法具有适应范围广泛且、计算非常简便、高效等优点，但必须比较熟悉Matlab软件并会进行相关操作，目前很多学生仍缺乏这方面的知识.
由分析可知用克莱姆法则与用逆矩阵求解线性方程组的方法对原方程组的要求较高，具有一定的局限性，但对于二元、三元甚至四元线性方程组的求解时，若满足条件的情况下可直接计算。而高斯消元法对于所有的线性方程组的求解都适应，在计算上较简单，但如果未知量较多、系数比较复杂时计算量大、难度大，此时利用Matlab求解就非常容易。但目前Matlab在高校中还没有普及且对硬件设施的要求较高。因此在求解线性方程组时一般可跟据具体的情况选择较合适的方法，一般来说在人工求解中较常用而又较简单的方法就是高斯消元法。

参考文献：
[1]张一博、周富照、左同亮、杨培、郭红玲.线性方程组求解仿真实验的实现[J].吉首大学学报(自然科学版),2011,32(06):37-40
[2]蔡建兴、任艳丽.大型线性方程组求解的可验证外包算法[J].计算机应用研究,2017,34(02):536-538
[3]姚俊、文传军.关于n元线性方程组求解的探讨[J].常州工学院学报,2004(04):25-29
[4]陈海霞、杨铁贵.基于凝聚函数法的非线性方程组求解[J].科学技术与工程,2010,10(06):1494-1496+1505
[5]邢芳、刘青昆、宫利东.基于文件拆分与高斯消去的线性方程组求解[J].计算机工程,2011,37(03):39-41
[6]屈爱平、李敏.MEMETIC算法在非线性方程组求解中的应用[J].湖南文理学院学报(自然科学版),2009,21(04):13-15
[7]王立志.广义行列式在线性方程组求解中的应用[J].太原科技大学学报,2008(01):33-35
[8]李树梅.基于MATLAB工具的非线性方程组求解方法研究[J].江苏科技信息,2017(18):30-31
作者简介：
杨伍梅(1981--)女，湖南益阳人，讲师，硕士，主要从事最优化理论与算法研究

国内刊号：CN61-1499/C

国际刊号：ISSN2095-9923

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